تفاصيل صيغة الرأس
- الصيغة القياسية: —
- صيغة الرأس: —
- h: —
- k: —
خطوة بخطوة
اطّلع على الخطوات الأساسية لإكمال المربع:
حاسبة إكمال المربع
تساعدك هذه الأداة على إكمال المربع لإعادة كتابة الدالة التربيعية بصيغة الرأس. أدخل معاملات $ax^2 + bx + c$ وستحصل على الصيغة المحوّلة $a(x - h)^2 + k$ مع خطوات واضحة، بما في ذلك الرأس $(h, k)$ ومحور التماثل $x = h$. صيغة الرأس مفيدة للرسم البياني، ومقارنة الدوال التربيعية، وتحديد القيمة العظمى أو الصغرى بسرعة. إكمال المربع موضوع أساسي في الجبر.
أعِد كتابة المعادلة التربيعية إلى صورة الرأس باستخدام إكمال المربع:
$$ax^2 + bx + c = a(x-h)^2 + k$$
يجب ألا تكون 0 في معادلة تربيعية.
ماذا يحقق إكمال المربع؟
إكمال المربع يعيد كتابة الدالة التربيعية بحيث تحتوي على مربع كامل. الهدف هو تحويل $ax^2 + bx + c$ إلى $a(x - h)^2 + k$. هذه الصيغة تجعل قراءة الرأس مباشرة وتربط المفهوم بالرسم البياني والحل وتحديد القيمة العظمى أو الصغرى.
إذا كان هدفك هو إيجاد الجذور مباشرة، فقد تكون طريقة الصيغة التربيعية والمميّز أسرع. استخدم حاسبة حل المعادلة التربيعية عندما يكون المطلوب هو الجذور. إكمال المربع طريقة معيارية شائعة في الاختبارات والكتب، كما أنها توضّح الفكرة التي تُشتق منها الصيغة التربيعية.
صيغة الرأس والرأس
صيغة الرأس هي: $$a(x-h)^2 + k$$ رأس القطع المكافئ هو $(h, k)$. محور التماثل هو $x = h$. إشارة $a$ تحدد ما إذا كان المنحنى مفتوحًا للأعلى أو للأسفل، وقيمة $k$ تمثل القيمة الصغرى عندما $a > 0$ أو القيمة العظمى عندما $a < 0$.
انطلاقًا من الصيغة القياسية $ax^2 + bx + c$ يمكن حساب الرأس مباشرة أيضًا: $$h = -\frac{b}{2a} \quad\text{and}\quad k = c - \frac{b^2}{4a}$$ وبالتالي يكون محور التماثل: $$x = -\frac{b}{2a}$$
كيف نكمل المربع؟
ابدأ من: $$ax^2 + bx + c$$ إذا كانت $a ≠ 1$ فقم باستخراجها عاملًا مشتركًا من حدّي $x^2$ و $x$ فقط. ثم خذ نصف معامل $x$ داخل القوس، واربعه، وأضفه واطرحه في الوقت نفسه حتى لا تتغير القيمة، ثم أعد كتابة ثلاثي الحدود على شكل مربع كامل. أخيرًا بسّط الثابت للوصول إلى صيغة الرأس.
الهدف هو إعادة كتابة الدالة بحيث تحتوي على مربع كامل: $$ax^2 + bx + c = a(x-h)^2 + k$$ حيث إن $(h, k)$ هو الرأس.
عندما لا تكون $a$ تساوي $1$
إذا لم يكن معامل $a$ يساوي $1$، فابدأ باستخراجه عاملًا مشتركًا من حدّي $x^2$ و $x$ أولًا، وليس من الحد الثابت. ثم أكمل المربع داخل القوس وابقِ $a$ خارج القوس. هذا يقلل الأخطاء عندما يقوم المعامل الرئيسي بتكبير أو تصغير المربع الكامل.
$$ax^2 + bx + c = a\left(x^2 + \frac{b}{a}x\right) + c$$
$$= a\left[\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 - \left(\frac{b}{2a}\right)^2\right] + c$$
$$= a\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 + \left(c - \frac{b^2}{4a}\right)$$
إذا ظهرت كسور، يمكن أن تساعدك حاسبة القاسم المشترك الأكبر (GCD) على التبسيط، وتفيد حاسبة المضاعف المشترك الأصغر (LCM) عندما تحتاج إلى مقام مشترك.
استخدام صيغة الرأس للحل
إكمال المربع ليس لإعادة الكتابة فقط. عندما تجعل الدالة التربيعية تساوي صفرًا، تسهّل صيغة الرأس الحل عبر أخذ الجذر التربيعي. إذا أصبحت القيمة في الطرف الأيمن سالبة، فلن توجد جذور حقيقية وتكون الحلول عقدية.
$$a(x-h)^2 + k = 0$$
$$(x-h)^2 = -\frac{k}{a}$$
$$x = h \pm \sqrt{-\frac{k}{a}}$$
للحصول على الجذور نفسها باستخدام طريقة المميّز، استخدم حاسبة حل المعادلة التربيعية.
لماذا تساعد صيغة الرأس في الرسم البياني؟
صيغة الرأس تعرض خصائص القطع المكافئ الأساسية بسرعة. الرأس هو $(h, k)$، ومحور التماثل هو $x = h$، وإشارة $a$ تحدد اتجاه الانفتاح للأعلى أو للأسفل. قيمة $|a|$ تتحكم في اتساع المنحنى أو ضيقه، كما أن قيمة $k$ عند الرأس تمثل القيمة الصغرى عندما تكون $a$ موجبة أو القيمة العظمى عندما تكون $a$ سالبة.
$$a(x-h)^2 + k \quad \Rightarrow \quad \text{vertex }(h,k),\ \text{axis }x=h$$
أخطاء شائعة يجب تجنبها
أخطاء الإشارة وتوزيع المعاملات هي الأكثر شيوعًا عند إكمال المربع. انتبه لهذه النقاط عندما تراجع خطواتك.
- إضافة الحد المربع ثم نسيان طرحه، مما يغيّر قيمة العبارة الأصلية.
- الخلط بين الإشارات في $x + \frac{b}{2a}$ و $x - h$، حيث إن $h = -\frac{b}{2a}$.
- استخراج $a$ بشكل غير صحيح، أو توزيعها على القوس بشكل خاطئ في النهاية.
- إسقاط الأقواس عند التوسيع للتحقق والعودة إلى الصيغة القياسية.
أمثلة محلولة
مثال 1: $a = 1$ (حالة بسيطة)
استخدم هذا عندما يكون المعامل الرئيسي $1$. خذ نصف معامل $x$، ثم اربعه، ثم عدّل الحد الثابت لتعويض الإضافة.
أعد كتابة: $$x^2 + 6x + 5$$ خذ نصف 6 (وهو 3)، ثم اربعه (9)، ثم عدّل الثابت.
$$x^2 + 6x + 5 = (x^2 + 6x + 9) + 5 - 9$$ $$= (x + 3)^2 - 4$$
صيغة الرأس هي: $$ (x + 3)^2 - 4 $$ الرأس هو: $$ (-3,\; -4) $$
مثال 2: $a ≠ 1$ (ابدأ بالاستخراج)
استخدم هذا عندما لا تكون $a$ تساوي $1$. استخرج $a$ عاملًا مشتركًا من حدّي $x^2$ و $x$ أولًا، ثم أكمل المربع داخل القوس.
أعد كتابة: $$2x^2 + 8x + 1$$ استخرج 2 من الحدّين الأولين: $$2(x^2 + 4x) + 1$$
أكمل المربع داخل القوس: $$2\big[(x^2 + 4x + 4) - 4\big] + 1$$ $$= 2(x + 2)^2 - 8 + 1$$ $$= 2(x + 2)^2 - 7$$
صيغة الرأس هي: $$2(x + 2)^2 - 7$$ الرأس هو: $$(-2,\; -7)$$
مثال 3: ثلاثي حدود مربع كامل
استخدم هذا عندما تكون العبارة أصلًا على شكل مربع كامل. يمكنك إعادة كتابتها مباشرة دون إضافة أو طرح أي شيء.
أعد كتابة: $$x^2 - 4x + 4$$ هذه عبارة مربع كامل: $$x^2 - 4x + 4 = (x - 2)^2$$
صيغة الرأس هي: $$(x - 2)^2 + 0$$ الرأس هو: $$(2,\; 0)$$
إذا أردت حل المعادلة المرتبطة، اجعل العبارة تساوي صفرًا ثم حلها. يمكنك أيضًا مقارنة هذا الأسلوب بطريقة الصيغة التربيعية.
أسئلة شائعة حول إكمال المربع
إجابات سريعة حول صيغة الرأس والخطوات والحالات الشائعة.
هو إعادة كتابة التعبير التربيعي على هيئة مربع كامل، غالباً $(x - h)^2 + k$ أو $a(x - h)^2 + k$، بحيث يصبح الرأس وخصائص الرسم أسهل للقراءة.
صيغة الرأس هي $a(x - h)^2 + k$، حيث $(h, k)$ هو رأس القطع المكافئ.
يمكن ذلك. بعد إعادة الكتابة إلى صيغة مربعة، يمكنك جعل التعبير يساوي صفراً ثم الحل بأخذ الجذر التربيعي.
تسحب $a$ عاملاً مشتركاً من حدّي $x^2$ و $x$ أولاً، ثم تُكمل المربع داخل القوس، وتُبقي $a$ خارجاً.
صيغة الرأس تعرض الرأس مباشرة وتجعل الإزاحات يميناً ويساراً وأعلى وأسفل واضحة، كما توضح هل يفتح المنحنى لأعلى أم لأسفل.
إضافة وطرح نفس القيمة يُبقي التعبير مكافئاً. وهذا يسمح بتكوين ثلاثي حدود على هيئة مربع كامل دون تغيير التعبير الأصلي.
موثوق به من قبل آلاف المستخدمين شهريًا. أدوات سريعة ودقيقة وتحافظ على الخصوصية.