حاسبة حل المعادلة التربيعية

تحل هذه الأداة المعادلات التربيعية بالصورة القياسية $ax^2 + bx + c = 0$. أدخل $a$ و $b$ و $c$ لحساب المميّز ($\Delta$) وإيجاد الجذور باستخدام القانون العام للمعادلة التربيعية، ثم تفسير نوع الحل: جذران حقيقيان، أو جذر حقيقي مكرر، أو زوج من الجذور المركبة المترافقة. لمسائل الجذور والمميّز وطرق الحل ذات الصلة، تفضل بزيارة الجبر.

حلّ المعادلات بالشكل:

$$ax^2 + bx + c = 0$$

إذا كانت a = 0، تصبح المعادلة خطية (bx + c = 0).

ما هي المعادلة التربيعية؟

المعادلة التربيعية هي معادلة كثيرة حدود من الدرجة الثانية. تحتوي على حد فيه المتغير تربيعًا، ويمكن أن تنتج حتى حلّين يُسميان جذورًا. هذه الجذور تُمثل قيم $x$ التي تجعل ناتج المعادلة يساوي صفرًا، أي نقاط تقاطع المنحنى مع المحور الأفقي.

تظهر المعادلات التربيعية في الفيزياء والهندسة والتمويل والعديد من العلوم التطبيقية. وفهم سلوك حلولها مهم لنمذجة العلاقات غير الخطية والمنحنيات.

الصيغة القياسية والمعاملات

تُكتب الصيغة القياسية للمعادلة التربيعية على شكل $$ax^2 + bx + c = 0$$. وتُسمى القيم $a$ و $b$ و $c$ معاملات، وهي التي تحدد شكل المنحنى وموقعه.

القانون العام للمعادلة التربيعية

يعطي القانون العام طريقة مباشرة لإيجاد جذور أي معادلة تربيعية. الفكرة هي تعويض معاملات المعادلة في تعبير واحد والحصول على الحلين.

$$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$

يُسمى التعبير تحت إشارة الجذر التربيعي بالمميّز. وتحدد قيمته ما إذا كانت للمعادلة حلّان حقيقيان، أو حل حقيقي مكرر، أو جذور مركبة.

  • $\Delta > 0$: جذران حقيقيان مختلفان
  • $\Delta = 0$: جذر حقيقي واحد مكرر
  • $\Delta < 0$: جذران مركبان (زوج مترافق)

كيف تحل معادلة تربيعية؟

حل المعادلة التربيعية يسير وفق خطوات ثابتة. هذا التسلسل يساعدك على تطبيق القانون بدقة وقراءة النتائج بشكل صحيح.

أولًا حدّد المعاملات $a$ و $b$ و $c$ من المعادلة. ثم عوّض بها في القانون العام. بعد ذلك احسب المميّز وبسّط الناتج. وأخيرًا فسّر الجذور اعتمادًا على قيمة المميّز.

أمثلة محلولة

مثال 1: جذران حقيقيان

استخدم هذا عندما يكون المميّز موجبًا، فتكون للمعادلة جذران حقيقيان مختلفان. سنعوض المعاملات في القانون العام ثم نبسط.

حل: $$x^2 - 5x + 6 = 0$$ المعاملات: $$a=1,\; b=-5,\; c=6$$

احسب المميّز: $$\Delta = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4(1)(6) = 25 - 24 = 1$$ $$\Delta > 0$$ يوجد جذران حقيقيان مختلفان.

طبّق القانون العام: $$x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-(-5) \pm \sqrt{1}}{2(1)} = \frac{5 \pm 1}{2}$$ إذن الحلان هما: $$x_1 = \frac{5+1}{2} = 3,\qquad x_2 = \frac{5-1}{2} = 2$$

مثال 2: جذر مكرر

استخدم هذا عندما يساوي المميّز صفرًا، فتتطابق الحلول في جذر حقيقي واحد مكرر. يظل القانون العام صالحًا، لكن جزء ± يعطي نفس القيمة.

حل: $$x^2 - 4x + 4 = 0$$ المعاملات: $$a=1,\; b=-4,\; c=4$$

احسب المميّز: $$\Delta = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4(1)(4) = 16 - 16 = 0$$ $$\Delta = 0$$ يوجد جذر حقيقي واحد مكرر.

طبّق القانون العام: $$x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-(-4) \pm \sqrt{0}}{2(1)} = \frac{4 \pm 0}{2}$$ إذن الحل هو: $$x = 2$$

مثال 3: لا حلول حقيقية

استخدم هذا عندما يكون المميّز سالبًا، فيدخل العدد التخيلي عند أخذ الجذر. تكون النتائج زوجًا من الجذور المركبة المترافقة.

حل: $$x^2 + 2x + 5 = 0$$ المعاملات: $$a=1,\; b=2,\; c=5$$

احسب المميّز: $$\Delta = b^2 - 4ac = (2)^2 - 4(1)(5) = 4 - 20 = -16$$ $$\Delta < 0$$ لا توجد جذور حقيقية، والحلول مركبة.

طبّق القانون العام: $$x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-2 \pm \sqrt{-16}}{2(1)}$$ أعد كتابة الجذر: $$\sqrt{-16} = 4i$$ إذن الحلان هما: $$x = \frac{-2 \pm 4i}{2} = -1 \pm 2i$$

إذا احتجت إلى تبسيط المعاملات قبل الحل، فإن حاسبة القاسم المشترك الأكبر (GCD) تساعدك على تقليل العوامل المشتركة. ولإجراء فحوص سريعة على القيم الصحيحة المستخدمة في الأمثلة، يمكنك أيضًا استخدام فاحص الأعداد الأولية.

واصل الاستكشاف في الرياضيات أو ارجع إلى الحاسبات لتصفح المزيد من الأدوات.

أسئلة شائعة حول حاسبة المعادلة التربيعية

إجابات سريعة حول المعادلات التربيعية والجذور والصيغة التربيعية.

موثوق به من قبل آلاف المستخدمين شهريًا. أدوات سريعة ودقيقة وتحافظ على الخصوصية.