حلال نظام المعادلات 3x3

تحل هذه الأداة نظامًا مكوّنًا من ثلاث معادلات خطية بثلاثة متغيرات، وتعرض الحل خطوة بخطوة باستخدام قاعدة كرامر. أدخل معاملات: $a_1x+b_1y+c_1z=d_1,\quad a_2x+b_2y+c_2z=d_2,\quad a_3x+b_3y+c_3z=d_3$ وسيحسب الحلال المحددات $D$ و$D_x$ و$D_y$ و$D_z$ لتحديد ما إذا كان للنظام حل وحيد، أو لا حل، أو عدد لا نهائي من الحلول. وعند وجود حل وحيد، يعرض قيم $x$ و$y$ و$z$. لمزيد من أدوات الجبر، استكشف الجبر.

حل نظام 3x3 بالشكل:

$$a_1x + b_1y + c_1z = d_1$$
$$a_2x + b_2y + c_2z = d_2$$
$$a_3x + b_3y + c_3z = d_3$$

ما هو نظام المعادلات 3x3؟

نظام 3x3 هو ثلاث معادلات خطية مكتوبة بالمتغيرات نفسها، غالبًا $x$ و$y$ و$z$. الحل هو ثلاثية $(x,y,z)$ تحقق المعادلات الثلاث معًا. قد يكون للنظام حل وحيد، أو لا حل بسبب تعارض المعادلات، أو عدد لا نهائي من الحلول عندما تكون إحدى المعادلات (أو أكثر) زائدة عن الحاجة.

كيف يعمل هذا الحلال

يستخدم هذا الحلال قاعدة كرامر المعتمدة على المحددات. أولًا يحسب المحدد الرئيسي $D$ لمصفوفة المعاملات. ثم يحسب المحددات $D_x$ و$D_y$ و$D_z$ باستبدال عمود واحد في كل مرة بعمود الثوابت. تساعد هذه القيم في تحديد نوع الحل، وعند وجوده تعطي قيم $x$ و$y$ و$z$.

$$D=\begin{vmatrix} a_1 & b_1 & c_1\\ a_2 & b_2 & c_2\\ a_3 & b_3 & c_3 \end{vmatrix},\quad D_x=\begin{vmatrix} d_1 & b_1 & c_1\\ d_2 & b_2 & c_2\\ d_3 & b_3 & c_3 \end{vmatrix},\quad D_y=\begin{vmatrix} a_1 & d_1 & c_1\\ a_2 & d_2 & c_2\\ a_3 & d_3 & c_3 \end{vmatrix},\quad D_z=\begin{vmatrix} a_1 & b_1 & d_1\\ a_2 & b_2 & d_2\\ a_3 & b_3 & d_3 \end{vmatrix}$$
$$D\ne 0 \Rightarrow x=\frac{D_x}{D},\; y=\frac{D_y}{D},\; z=\frac{D_z}{D}$$

كيفية تفسير المحددات

تعطي قاعدة كرامر تصنيفًا واضحًا للحالات:

  • حل وحيد: إذا كان $D \ne 0$ فهناك حل واحد فقط $(x,y,z)$.
  • عدد لا نهائي من الحلول: إذا كان $D=0$ و$D_x=0$ و$D_y=0$ و$D_z=0$ فالمعادلات متسقة لكنها تابعة، وبالتالي توجد حلول لا نهائية.
  • لا حل: إذا كان $D=0$ لكن واحدًا على الأقل من $D_x$ أو $D_y$ أو $D_z$ غير صفري، فالمعادلات غير متسقة ولا توجد ثلاثية $(x,y,z)$ تحققها جميعًا.

إذا كنت تحتاج نظامًا بمتغيرين فقط، استخدم حلال نظام المعادلات 2x2. ولمعادلة واحدة بمتغير واحد، استخدم حلال المعادلة الخطية. وإذا كانت المعادلة تحتوي على حد $x^2$، استخدم حلال المعادلة التربيعية.

ملاحظات الإدخال والاستقرار العددي

يمكنك إدخال معاملات صحيحة أو عشرية، بما في ذلك القيم السالبة. تُنسّق الأداة النتائج وفق دقة المنازل العشرية المحددة. في بعض الحالات، قد تكون المحددات قريبة جدًا من الصفر بسبب التقريب، حتى لو كانت القيمة الدقيقة تساوي صفرًا. للحفاظ على ثبات التصنيف، يتعامل الحلال مع القيم القريبة جدًا من الصفر على أنها صفر. إذا كانت نتيجتك على الحد بين حالتين، جرّب زيادة الدقة أو استخدام كسور دقيقة متى أمكن.

أمثلة محلولة مع الخطوات

مثال 1: حل وحيد

نظام اعتيادي له حل واحد واضح.

حل: $$\begin{cases} x + y + z = 6\\ 2x - y + z = 5\\ x + 2y - z = 3 \end{cases}$$

احسب المحدد الرئيسي: $$D=\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1\\ 2 & -1 & 1\\ 1 & 2 & -1 \end{vmatrix}=-9$$

ثم احسب: $$D_x=\begin{vmatrix} 6 & 1 & 1\\ 5 & -1 & 1\\ 3 & 2 & -1 \end{vmatrix}=-18,\quad D_y=\begin{vmatrix} 1 & 6 & 1\\ 2 & 5 & 1\\ 1 & 3 & -1 \end{vmatrix}=-9,\quad D_z=\begin{vmatrix} 1 & 1 & 6\\ 2 & -1 & 5\\ 1 & 2 & 3 \end{vmatrix}=-27$$

بما أن $D\ne 0$: $$x=\frac{D_x}{D}=2,\quad y=\frac{D_y}{D}=1,\quad z=\frac{D_z}{D}=3$$

مثال 2: عدد لا نهائي من الحلول

المعادلات تصف القيد نفسه، لذا توجد حلول لا نهائية.

حل: $$\begin{cases} x + y + z = 3\\ 2x + 2y + 2z = 6\\ 3x + 3y + 3z = 9 \end{cases}$$

هنا كل معادلة هي مضاعف للأولى، لذلك: $$D=0,\quad D_x=0,\quad D_y=0,\quad D_z=0$$

بما أن جميع المحددات تساوي صفرًا، فالنظام له عدد لا نهائي من الحلول. مثلًا، أي $(x,y,z)$ يحقق $x+y+z=3$ يصلح.

مثال 3: لا حل

المعادلات متعارضة، لذا لا توجد ثلاثية $(x,y,z)$ تحققها جميعًا.

حل: $$\begin{cases} x + y + z = 1\\ x + y + z = 2\\ x - y + z = 0 \end{cases}$$

المعادلتان الأولى والثانية متناقضتان أصلًا. من ناحية المحددات تكون صفوف المعاملات تابعة فينتج $D=0$، لكن الثوابت غير متسقة فيكون أحد $D_x$ أو $D_y$ أو $D_z$ غير صفري.

لذلك لا يوجد حل للنظام.

واصل الاستكشاف في الرياضيات أو ارجع إلى الآلات الحاسبة لتصفح المزيد من الأدوات.

أسئلة حول حلال نظام 3x3

إجابات سريعة عن المحددات وقاعدة كرامر وأنواع الحلول.

موثوق به من قبل آلاف المستخدمين شهريًا. أدوات سريعة ودقيقة وتحافظ على الخصوصية.