حاسبة كثيرات حدود تايلور وماكلوران

تحسب هذه الأداة كثيرة حدود ماكلوران (وهي كثيرة حدود تايلور عندما يكون المركز $a=0$) وتقيّمها عند القيمة $x$ التي تختارها. اختر الدالة، ثم أدخل $x$ ودرجة كثيرة الحدود $n$، وستعرض الحاسبة كثيرة الحدود $T_n(x)$ والقيمة العددية لـ $T_n(x)$ مع الخطوات. لمزيد من أدوات هذا الموضوع، استكشف المتتاليات والمتسلسلات.

احسب كثيرة حدود ماكلوران وقيمتها عند x.

$$T_n(x)=\sum_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}(0)}{k!}x^k$$

ما الذي تحسبه هذه الحاسبة؟

كثيرة حدود تايلور تُستخدم لتقريب الدالة قرب مركز $a$. أما كثيرة حدود ماكلوران فهي الحالة الخاصة عندما يكون $a=0$: $$T_n(x)=\sum_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}(0)}{k!}x^k$$ تبني هذه الأداة كثيرة الحدود حتى الدرجة $n$ ثم تقيّمها عند قيمة $x$ المُدخلة. النتيجة تقريب عملي يفيد في التقدير السريع، والتحقق من الحل، وفهم سلوك الدالة قرب الصفر.

إذا كنت تحتاج أيضًا إلى حدّ علوي مضمون لخطأ التقريب عند نقطة، فاستعمل حاسبة حدّ الباقي في تايلور.

كيف تُبنى الخطوات؟

تتبع الحاسبة تعريف كثيرة حدود ماكلوران مباشرة. لكل $k$ من 0 إلى $n$ تحسب قيمة المشتقة $f^{(k)}(0)$، ثم تقسمها على $k!$ لتكون معامل الحد $x^k$. بعد ذلك تُجمع الحدود لتكوين $T_n(x)$، وفي النهاية تُحسب قيمة $T_n(x)$ عند قيمة $x$ التي أدخلتها.

ولجعل المخرجات سهلة القراءة، تُبرز الخطوات المعاملات الأولى وكثيرة الحدود النهائية. كما تُعرض قيمة $T_n(x)$ العددية وفق دقة المنازل العشرية المضبوطة في الموقع.

ملاحظات المجال والحدود

تتحقق الأداة من قواعد المجال الأساسية قبل الحساب. بالنسبة إلى $\ln(1+x)$ يجب أن يتحقق $1+x>0$ عند قيمة $x$ المُدخلة. وبالنسبة إلى $\frac{1}{1-x}$ يجب أن يتحقق $x\ne 1$. إذا كانت القيمة خارج المجال الصحيح، تتوقف الحاسبة وتعرض رسالة خطأ بدلًا من إعطاء نتيجة مضللة.

هناك أيضًا حدّ للدرجة (حتى $n=25$) للحفاظ على استقرار الحسابات. الدرجات الكبيرة تجعل العاملية والقيم الوسيطة تكبر بسرعة شديدة، وقد يؤدي ذلك إلى تجاوزات أو نتائج غير مستقرة في الأعداد العائمة. وإذا كنت تريد تحليل التقارب أو اتخاذ قرار واضح حول “هل تتقارب هذه المتسلسلة؟”، فاستخدم اختبار تقارب المتسلسلات.

أمثلة محلولة مع الخطوات

مثال 1: $e^x$ عند $x=1$

احسب كثيرة حدود ماكلوران من الدرجة $n=3$ للدالة $e^x$ وقيّمها عند $x=1$.

اختر $f(x)=e^x$، ثم أدخل $x=1$ و$n=3$.

تبني الحاسبة $T_3(x)$ اعتمادًا على المشتقات عند 0، ثم تعرض كثيرة الحدود والقيمة العددية $T_3(1)$.

مثال 2: $\sin(x)$ عند $x=0.5$

لدالة الجيب حدود فردية بإشارات متناوبة حول 0، لذلك تظهر في كثيرة الحدود نمط الإشارة المتناوب المعروف.

اختر $f(x)=\sin(x)$، ثم أدخل $x=0.5$ و$n=5$.

تعرض الأداة $T_5(x)$ والتقريب $T_5(0.5)$.

مثال 3: $\ln(1+x)$ عند $x=0.5$

اللوغاريتمات تتطلب الانتباه إلى المجال. هذا المثال يقع ضمن المجال الصحيح $1+x>0$.

اختر $f(x)=\ln(1+x)$، ثم أدخل $x=0.5$ و$n=3$.

تبني الحاسبة كثيرة حدود ماكلوران من الدرجة 3 ثم تقيّمها عند $x=0.5$.

مثال 4: $\frac{1}{1-x}$ عند $x=0.2$

تتمدد هذه الدالة بشكل واضح حول 0، لكنها غير معرّفة عند $x=1$، لذا يجب أن تبقى قيمة الإدخال بعيدة عن تلك النقطة.

اختر $f(x)=\frac{1}{1-x}$، ثم أدخل $x=0.2$ و$n=4$.

تعرض الأداة كثيرة الحدود $T_4(x)$ والتقريب العددي $T_4(0.2)$.

واصل الاستكشاف في التفاضل والتكامل و الرياضيات أو ارجع إلى الآلات الحاسبة لتصفح المزيد من الأدوات.

أسئلة حول كثيرات حدود تايلور وماكلوران

إجابات سريعة عن كثيرة حدود ماكلوران، والدرجة n، وكيفية تفسير T_n(x).

موثوق به من قبل آلاف المستخدمين شهريًا. أدوات سريعة ودقيقة وتحافظ على الخصوصية.