التفاصيل
- الفترة: —
- M (أقصى |f^(n+1)|): —
خطوة بخطوة
الشرح:
حاسبة حدّ باقي تايلور
هذه الأداة تحسب قيمة كثير حدود تايلور $T_n(x)$ وتقدّم حدًا صريحًا لخطأ التقريب، مع عرض الخطوات باستخدام باقي لاغرانج. اختر الدالة، وحدد المركز $a$، والنقطة $x$، والدرجة $n$، ثم تعرض الحاسبة $T_n(x)$ وحدًا لِـ $|R_n(x)|$. لمزيد من الأدوات ضمن هذا الموضوع، استكشف المتتاليات والمتسلسلات.
احسب قيمة كثير حدود تايلور وحدًّا لباقي لاغرانج.
$$|R_n(x)|\le \frac{M}{(n+1)!}|x-a|^{n+1}$$
ما معنى حدّ باقي تايلور
كثير حدود تايلور يقرّب الدالة قرب نقطة مركزية $a$. حدّ الباقي $R_n(x)$ هو الفرق بين القيمة الحقيقية والتقريب: $$f(x)=T_n(x)+R_n(x)$$ هذه الحاسبة تعطي حدًا عدديًا أعلى لحجم ذلك الخطأ، بحيث لا تقول فقط “هذا هو التقريب”، بل أيضًا “هذا أقصى مقدار ممكن للانحراف”.
ملاحظة: هذا حدّ أعلى مضمون، وليس بالضرورة الخطأ الفعلي. قد يكون الخطأ الحقيقي أصغر من هذا الحد.
$$|R_n(x)|\le \frac{M}{(n+1)!}|x-a|^{n+1},\quad M=\max_{t\in[\min(a,x),\max(a,x)]}|f^{(n+1)}(t)|$$
كيف تحسب الأداة قيمة الحد
تقوم الأداة بأمرين:
- حساب $T_n(x)$: تقيّم كثير حدود تايلور عند $x$ اعتمادًا على المشتقات عند $a$.
- حساب حدّ للخطأ: تحدد قيمة $M$ التي تعطي حدًا أعلى لـ $|f^{(n+1)}(t)|$ على الفترة بين $a$ و$x$، ثم تطبقها في صيغة باقي لاغرانج.
عمليًا تُختار $M$ بطريقة سريعة وموثوقة. مثلًا، في حالة $e^x$ يكون الحد الأقصى عند طرف الفترة ذي قيمة $t$ الأكبر. وفي $\sin(x)$ و$\cos(x)$ تبقى قيم المشتقات المناسبة ضمن 1 بالقيمة المطلقة. وفي $\ln(1+x)$ يتحقق الحد الأقصى عند الطرف الأصغر للفترة. وفي $\frac{1}{1-x}$ يأتي الحد الأقصى من الطرف الأقرب إلى $t=1$ (بشرط ألا تعبر الفترة نقطة عدم التعريف).
المخرجات عملية: ستحصل على $T_n(x)$، والفترة المستخدمة، وقيمة $M$، والحد النهائي لـ $|R_n(x)|$.
قواعد الإدخال وملاحظات المجال
لكل دالة شروط مجال مختلفة، كما أن قيمة الحد تعتمد على الفترة بين $a$ و$x$. تتحقق الحاسبة من هذه الشروط قبل حساب الحد.
- الدرجة $n$: اختر عددًا صحيحًا غير سالب. زيادة $n$ تحسن التقريب غالبًا، لكن المضروب ينمو بسرعة كبيرة.
- الفترة: تستخدم الأداة $t\in[\min(a,x),\max(a,x)]$ عند حساب $M$.
- قاعدة عامة: إذا عبرت الفترة نقطة تكون فيها الدالة غير معرّفة أو لا توجد فيها المشتقة المطلوبة، فلن يمكن الحصول على حدّ صحيح.
- $\ln(1+x)$: يتطلب $1+t>0$ على كامل الفترة (لذا لا يمكن عبور $t=-1$).
- $\frac{1}{1-x}$: يتطلب $t\ne 1$ على كامل الفترة (لذا لا يمكن أن تعبر الفترة $t=1$).
إذا كنت تريد سلسلة تايلور أو ماكلوران نفسها (وليس مجرد حدّ عند نقطة)، فاستخدم أداة سلسلة تايلور وماكلوران. وإذا كنت تحتاج إلى تحديد سلوك التقارب لمتسلسلة لا نهائية، فاستخدم أداة اختبار تقارب المتسلسلات.
واصل الاستكشاف في التفاضل والتكامل و الرياضيات أو ارجع إلى الآلات الحاسبة لتصفح المزيد من الأدوات.
أسئلة حول حاسبة حدّ باقي تايلور
إجابات سريعة عن كثيرات حدود تايلور وباقي لاغرانج وحدود الخطأ.
تحسب قيمة كثير حدود تايلور $T_n(x)$ وتقدّم حدًا صريحًا لخطأ الباقي $|R_n(x)|$ باستخدام صيغة باقي لاغرانج.
هو المتباينة $|R_n(x)|\le \frac{M}{(n+1)!}|x-a|^{n+1}$، حيث $M=\max_{t\in[a,x]}|f^{(n+1)}(t)|$.
$M$ تمثل حدًا أعلى لقيمة المشتقة من الرتبة $(n+1)$ بالقيمة المطلقة على الفترة بين $a$ و$x$، وتكتب $M=\max_{t\in[a,x]}|f^{(n+1)}(t)|$.
لا. الأداة تعطي حدًا أعلى للخطأ: الخطأ الحقيقي يحقق $|f(x)-T_n(x)|=|R_n(x)|$ ويُضمن أن يكون أصغر من الحد أو مساويًا له.
الحد يتناسب مع $\frac{M}{(n+1)!}|x-a|^{n+1}$. زيادة $n$ تقلل الحد غالبًا، واختيار $x$ أقرب إلى $a$ (أي $|x-a|$ أصغر) يجعل الحد عادةً أصغر بكثير.
لأن $M$ يُحسب على كامل الفترة بين $a$ و$x$. مثلًا، $\ln(1+x)$ يتطلب $1+t>0$ على تلك الفترة، و$\frac{1}{1-x}$ يتطلب $t\ne 1$ على تلك الفترة.
موثوق به من قبل آلاف المستخدمين شهريًا. أدوات سريعة ودقيقة وتحافظ على الخصوصية.