Resolutor de Ecuaciones Cuadráticas

Esta herramienta resuelve ecuaciones cuadráticas en la forma estándar $ax^2 + bx + c = 0$. Introduce $a$, $b$ y $c$ para calcular el discriminante ($\Delta$) y las raíces con la fórmula cuadrática, y luego interpretar el tipo de resultado: dos raíces reales, una raíz real doble o un par conjugado complejo. Para raíces, discriminantes y métodos de resolución relacionados, explora Álgebra.

Resuelve ecuaciones de la forma:

$$ax^2 + bx + c = 0$$

Si a = 0, la ecuación se vuelve lineal (bx + c = 0).

¿Qué es una ecuación cuadrática?

Una ecuación cuadrática es una ecuación polinómica de grado dos. Incluye un término con la variable al cuadrado y puede tener hasta dos soluciones, llamadas raíces. Estas soluciones indican dónde la ecuación corta el eje horizontal.

Las ecuaciones cuadráticas aparecen en física, ingeniería, finanzas y muchas ciencias aplicadas. Entender cómo se comportan sus soluciones es clave para modelar relaciones curvadas.

Forma estándar y coeficientes

La forma estándar de una ecuación cuadrática se escribe como $ax^2 + bx + c = 0$. Los valores $a$, $b$ y $c$ se llaman coeficientes y determinan la forma y la posición de la curva.

La fórmula cuadrática

La fórmula cuadrática ofrece un método directo para calcular las raíces de cualquier ecuación cuadrática. Funciona sustituyendo los coeficientes en una sola expresión.

$$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$

La expresión dentro de la raíz se llama discriminante. Su valor determina si la ecuación tiene dos soluciones reales, una solución real doble o raíces complejas.

  • $\Delta > 0$: dos raíces reales distintas
  • $\Delta = 0$: una raíz real doble
  • $\Delta < 0$: dos raíces complejas (un par conjugado)

Cómo resolver una ecuación cuadrática

Resolver una ecuación cuadrática sigue una secuencia de pasos consistente. Esa secuencia ayuda a aplicar la fórmula con precisión y a interpretar bien el resultado.

Primero, identifica los coeficientes $a$, $b$ y $c$ en la ecuación. Luego sustitúyelos en la fórmula cuadrática. Después calcula el discriminante y simplifica. Por último, interpreta las raíces según el valor del discriminante.

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1: Dos raíces reales

Usa este caso cuando el discriminante es positivo, así que la ecuación tiene dos soluciones reales distintas. Sustituiremos los coeficientes en la fórmula cuadrática y simplificaremos.

Resuelve: $$x^2 - 5x + 6 = 0$$ Coeficientes: $$a=1,\; b=-5,\; c=6$$

Calcula el discriminante: $$\Delta = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4(1)(6) = 25 - 24 = 1$$ $$\Delta > 0$$ Hay dos raíces reales distintas.

Aplica la fórmula cuadrática: $$x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-(-5) \pm \sqrt{1}}{2(1)} = \frac{5 \pm 1}{2}$$ Por tanto, las dos soluciones son: $$x_1 = \frac{5+1}{2} = 3,\qquad x_2 = \frac{5-1}{2} = 2$$

Ejemplo 2: Raíz doble

Usa este caso cuando el discriminante vale cero, así que ambas soluciones se reducen a una única raíz real repetida. La fórmula cuadrática se aplica igual, pero el $±$ termina dando el mismo valor.

Resuelve: $$x^2 - 4x + 4 = 0$$ Coeficientes: $$a=1,\; b=-4,\; c=4$$

Calcula el discriminante: $$\Delta = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4(1)(4) = 16 - 16 = 0$$ $$\Delta = 0$$ Hay una raíz real doble.

Aplica la fórmula cuadrática: $$x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-(-4) \pm \sqrt{0}}{2(1)} = \frac{4 \pm 0}{2}$$ Por tanto, la solución es: $$x = 2$$

Ejemplo 3: Sin soluciones reales

Usa este caso cuando el discriminante es negativo, así que la raíz introduce un valor imaginario. El resultado es un par de conjugados complejos.

Resuelve: $$x^2 + 2x + 5 = 0$$ Coeficientes: $$a=1,\; b=2,\; c=5$$

Calcula el discriminante: $$\Delta = b^2 - 4ac = (2)^2 - 4(1)(5) = 4 - 20 = -16$$ $$\Delta < 0$$ No hay raíces reales y las soluciones son complejas.

Aplica la fórmula cuadrática: $$x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-2 \pm \sqrt{-16}}{2(1)}$$ Reescribe la raíz: $$\sqrt{-16} = 4i$$ Entonces las soluciones son: $$x = \frac{-2 \pm 4i}{2} = -1 \pm 2i$$

Si necesitas simplificar coeficientes antes de resolver, la Calculadora de MCD (GCD) puede ayudarte a reducir factores comunes. Para comprobaciones rápidas con valores enteros usados en ejemplos, también puedes usar el Verificador de Números Primos.

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Preguntas sobre el solucionador cuadrático

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