Solucionador de sistemas de ecuaciones 3x3

Esta herramienta resuelve un sistema de tres ecuaciones lineales con tres variables y muestra el procedimiento paso a paso usando la regla de Cramer. Introduce los coeficientes para $a_1x+b_1y+c_1z=d_1,\quad a_2x+b_2y+c_2z=d_2,\quad a_3x+b_3y+c_3z=d_3$ y el solucionador calculará los determinantes $D$, $D_x$, $D_y$ y $D_z$ para determinar si el sistema tiene una solución única, no tiene solución o tiene infinitas soluciones. Cuando existe una solución única, devuelve los valores de $x$, $y$ y $z$. Para más herramientas de álgebra, explora Álgebra.

Resuelve un sistema 3x3 de la forma:

$$a_1x + b_1y + c_1z = d_1$$
$$a_2x + b_2y + c_2z = d_2$$
$$a_3x + b_3y + c_3z = d_3$$

¿Qué es un sistema de ecuaciones 3x3?

Un sistema 3x3 son tres ecuaciones lineales escritas con las mismas tres variables, normalmente $x$, $y$ y $z$. Una solución es un trío $(x,y,z)$ que satisface las tres ecuaciones al mismo tiempo. Algunos sistemas tienen una única solución, otros no tienen solución (porque las ecuaciones se contradicen) y otros tienen infinitas soluciones (porque al menos una ecuación es redundante).

Cómo funciona este solucionador

Este solucionador usa la regla de Cramer, que se basa en determinantes. Primero calcula el determinante principal $D$ de la matriz de coeficientes. Luego calcula tres determinantes adicionales $D_x$, $D_y$ y $D_z$ sustituyendo, uno a uno, una columna por los términos independientes. Con esos valores se determina el tipo de solución y, cuando existe, los valores de $x$, $y$ y $z$.

$$D=\begin{vmatrix} a_1 & b_1 & c_1\\ a_2 & b_2 & c_2\\ a_3 & b_3 & c_3 \end{vmatrix},\quad D_x=\begin{vmatrix} d_1 & b_1 & c_1\\ d_2 & b_2 & c_2\\ d_3 & b_3 & c_3 \end{vmatrix},\quad D_y=\begin{vmatrix} a_1 & d_1 & c_1\\ a_2 & d_2 & c_2\\ a_3 & d_3 & c_3 \end{vmatrix},\quad D_z=\begin{vmatrix} a_1 & b_1 & d_1\\ a_2 & b_2 & d_2\\ a_3 & b_3 & d_3 \end{vmatrix}$$
$$D\ne 0 \Rightarrow x=\frac{D_x}{D},\; y=\frac{D_y}{D},\; z=\frac{D_z}{D}$$

Cómo interpretar los determinantes

La regla de Cramer también permite clasificar el sistema con claridad:

  • Solución única: si $D \ne 0$, el sistema tiene exactamente una solución $(x,y,z)$.
  • Infinitas soluciones: si $D=0$ y $D_x=0$ y $D_y=0$ y $D_z=0$, las ecuaciones son compatibles pero dependientes, por lo que hay infinitas soluciones.
  • Sin solución: si $D=0$ pero al menos uno de $D_x$, $D_y$ o $D_z$ es distinto de cero, las ecuaciones son incompatibles y no existe ningún $(x,y,z)$ que satisfaga las tres.

Si solo necesitas un sistema con dos variables, usa el Solucionador de sistemas 2x2. Para una sola ecuación con una variable, usa el Solucionador de ecuaciones lineales. Si tu ecuación incluye un término $x^2$, usa el Solucionador de ecuaciones cuadráticas.

Notas de entrada y estabilidad numérica

Puedes introducir enteros o decimales, incluidos valores negativos. La herramienta formatea los resultados según la precisión decimal configurada. En entradas reales, los determinantes pueden quedar extremadamente cerca de cero por redondeo, aunque el valor exacto sea cero. Para mantener estable la clasificación, el solucionador trata como cero los valores muy cercanos a cero. Si tu caso está cerca del límite entre categorías, prueba a aumentar la precisión o a usar fracciones exactas cuando sea posible.

Ejemplos resueltos con pasos

Ejemplo 1: Solución única

Un sistema típico con una solución clara.

Resuelve: $$\begin{cases} x + y + z = 6\\ 2x - y + z = 5\\ x + 2y - z = 3 \end{cases}$$

Calcula el determinante principal: $$D=\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1\\ 2 & -1 & 1\\ 1 & 2 & -1 \end{vmatrix}=-9$$

Sustituye columnas para calcular: $$D_x=\begin{vmatrix} 6 & 1 & 1\\ 5 & -1 & 1\\ 3 & 2 & -1 \end{vmatrix}=-18,\quad D_y=\begin{vmatrix} 1 & 6 & 1\\ 2 & 5 & 1\\ 1 & 3 & -1 \end{vmatrix}=-9,\quad D_z=\begin{vmatrix} 1 & 1 & 6\\ 2 & -1 & 5\\ 1 & 2 & 3 \end{vmatrix}=-27$$

Como $D\ne 0$: $$x=\frac{D_x}{D}=2,\quad y=\frac{D_y}{D}=1,\quad z=\frac{D_z}{D}=3$$

Ejemplo 2: Infinitas soluciones

Las ecuaciones describen la misma condición, así que hay infinitas soluciones.

Resuelve: $$\begin{cases} x + y + z = 3\\ 2x + 2y + 2z = 6\\ 3x + 3y + 3z = 9 \end{cases}$$

Aquí cada ecuación es un múltiplo de la primera, por lo que la matriz de coeficientes es dependiente y: $$D=0,\quad D_x=0,\quad D_y=0,\quad D_z=0$$

Como todos los determinantes son cero, el sistema tiene infinitas soluciones. Por ejemplo, cualquier $(x,y,z)$ que cumpla $x+y+z=3$ funciona.

Ejemplo 3: Sin solución

Las ecuaciones se contradicen, por lo que no existe ningún $(x,y,z)$ que cumpla todas a la vez.

Resuelve: $$\begin{cases} x + y + z = 1\\ x + y + z = 2\\ x - y + z = 0 \end{cases}$$

Las dos primeras ecuaciones ya entran en conflicto. En términos de determinantes, las filas de coeficientes son dependientes, así que $D=0$, pero los términos independientes no son compatibles y al menos uno de $D_x$, $D_y$ o $D_z$ es distinto de cero.

Por lo tanto, el sistema no tiene solución.

Sigue explorando Matemáticas o vuelve a Calculadoras para ver más herramientas.

Preguntas sobre el solucionador 3x3

Respuestas rápidas sobre determinantes, la regla de Cramer y tipos de solución.

Con la confianza de miles de usuarios cada mes: herramientas rápidas, precisas y respetuosas con la privacidad.