Sucesiones y series
Las sucesiones describen cómo se comporta una lista de términos a medida que crece el índice. Las series siguen lo que ocurre con la suma acumulada cuando vas añadiendo esos términos. En cálculo, el objetivo práctico casi siempre es el mismo: decidir rápidamente si hay convergencia, reconocer patrones comunes y entender cómo las series de potencias llevan a las aproximaciones de Taylor y Maclaurin. Las herramientas de abajo cubren las principales pruebas de convergencia y temas de series de potencias, y muestran el procedimiento paso a paso. Explora más temas en Cálculo.
Comprueba la convergencia, analiza el comportamiento de series y trabaja con Taylor y series de potencias usando herramientas estructuradas.
Mapa rápido del proceso
Sucesiones: calcula o estima límites y usa ideas de monotonía o del teorema del sándwich cuando haga falta. Series: estudia las sumas parciales y elige una prueba de convergencia que encaje con la estructura de los términos. Series de potencias: encuentra el radio y el intervalo de convergencia, y luego comprueba los extremos. Taylor y Maclaurin: construye una aproximación polinómica y usa una cota del resto para controlar el error.
Sucesiones: cuándo convergen
Una sucesión $\{a_n\}$ converge a $L$ si $$\lim_{n\to\infty} a_n = L.$$ Si el límite no existe (o es infinito), la sucesión diverge.
Crecimiento/decaimiento de tipo geométrico: $r^n$ tiende a $0$ cuando $|r|<1$ y crece sin límite cuando $|r|>1$.
Decaimiento de potencia: $1/n^p \to 0$ para cualquier $p>0$, pero la velocidad de decaimiento importa más adelante en las series.
Monótona + acotada: si $a_n$ es creciente y está acotada superiormente (o decreciente y acotada inferiormente), converge.
Intuición del sándwich: encierra $a_n$ entre dos sucesiones que tengan el mismo límite.
Series: convergencia mediante sumas parciales
Una serie $\sum a_n$ se evalúa por el comportamiento de sus sumas parciales: $$S_N = a_1+a_2+\dots+a_N.$$ Si $S_N$ se aproxima a un número finito cuando $N\to\infty$, la serie converge. Si no, diverge. La convergencia trata de la suma acumulada, no de un término aislado por sí solo.
Pruebas de convergencia: cómo elegir
Primero, comprueba la condición necesaria: si $\sum a_n$ converge, entonces $\lim_{n\to\infty} a_n = 0$. Si el límite del término no es cero (o no existe), la serie diverge de inmediato.
- Serie geométrica: se parece a $ar^{n}$, converge cuando $|r|<1$.
- Serie $p$: $\sum \frac{1}{n^p}$ converge cuando $p>1$ y diverge cuando $p\le 1$.
- Prueba de comparación: compara $a_n$ con una referencia conocida (a menudo geométrica o $p$).
- Prueba integral: para términos positivos y decrecientes ligados a una función $f(x)$ adecuada, relaciona la serie con una integral impropia.
- Prueba del cociente: útil con factoriales, exponenciales o productos comparando $a_{n+1}$ con $a_n$.
- Prueba de la raíz: útil cuando aparecen potencias en $n$, revisando el comportamiento de la raíz enésima.
- Prueba de series alternantes: si los signos alternan y $|a_n|$ decrece hasta $0$, la serie converge.
Hay dos resultados que aparecen constantemente: convergencia absoluta (cuando $\sum |a_n|$ converge) y convergencia condicional (cuando $\sum a_n$ converge pero $\sum |a_n|$ diverge). Alternar signos puede ayudar, pero no sustituye verificar las condiciones.
Si quieres reforzar la intuición de límites detrás de estas ideas, continúa en Límites y continuidad.
Series de potencias y aproximación de Taylor
Una serie de potencias tiene la forma $$\sum_{n=0}^{\infty} c_n (x-a)^n.$$ Normalmente se encuentra un radio $R$ para que la serie converja cuando $|x-a|<R$, diverja cuando $|x-a|>R$, y después se comprueban los extremos por separado.
Las series de Taylor y Maclaurin usan derivadas para construir una aproximación polinómica local. El término de resto (a menudo tratado con una cota del resto de Taylor, como la forma de Lagrange) mide el error de aproximación y te dice cuán precisa es la aproximación cerca del centro. Los coeficientes de Taylor salen de derivadas, así que el siguiente tema más natural es Derivadas.
Categorías de calculadoras de sucesiones y series
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Preguntas sobre sucesiones y series
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