Detalles
- Polinomio Tₙ(x): —
Paso a paso
Explicación:
Calculadora de polinomios de Taylor y Maclaurin
Esta herramienta calcula un polinomio de Maclaurin (el polinomio de Taylor centrado en $a=0$) y lo evalúa en el punto $x$ que elijas. Selecciona una función, introduce $x$ y el grado $n$, y la calculadora devuelve el polinomio $T_n(x)$ y el valor numérico $T_n(x)$, con pasos. Para ver más herramientas de este tema, explora Sucesiones y series.
Calcula el polinomio de Maclaurin y su valor en x.
$$T_n(x)=\sum_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}(0)}{k!}x^k$$
Qué calcula esta herramienta
Un polinomio de Taylor aproxima una función cerca de un centro $a$. El polinomio de Maclaurin es el caso particular con $a=0$: $$T_n(x)=\sum_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}(0)}{k!}x^k$$ Esta herramienta construye ese polinomio hasta el grado $n$ y luego lo evalúa en tu valor de $x$. El resultado es una aproximación práctica para estimar valores, comprobar cálculos o entender cómo se comporta una función cerca de 0.
Si además necesitas una cota de error garantizada para la aproximación en un punto, usa la Calculadora de cota del resto de Taylor.
Cómo se construyen los pasos
La calculadora sigue la definición del polinomio de Maclaurin. Para cada $k$ desde 0 hasta $n$, calcula el valor de la derivada $f^{(k)}(0)$, lo divide entre $k!$ y usa ese resultado como coeficiente de $x^k$. Después suma los términos para formar $T_n(x)$ y, al final, calcula $T_n(x)$ en el valor de $x$ que introdujiste.
Para que el resultado sea fácil de leer, los pasos destacan los primeros coeficientes y el polinomio final. El valor numérico mostrado de $T_n(x)$ se formatea según la precisión decimal configurada en el sitio.
Notas de dominio y límites
La herramienta comprueba reglas básicas de dominio antes de calcular el valor del polinomio. Para $\ln(1+x)$, debes cumplir $1+x>0$ en tu valor de $x$. Para $\frac{1}{1-x}$, debes cumplir $x\ne 1$. Si el valor introducido está fuera del dominio válido, la calculadora se detiene y muestra un error en lugar de darte un resultado engañoso.
También hay un límite de grado ($n$ hasta 25) para mantener la estabilidad de los cálculos. A grados altos, los factoriales y los valores intermedios crecen muy rápido, lo que puede provocar desbordamientos o comportamientos poco fiables en coma flotante. Si necesitas analizar la convergencia o decidir “¿esta serie converge?”, usa el Test de convergencia de series.
Ejemplos resueltos con pasos
Ejemplo 1: $e^x$ en $x=1$
Calcula el polinomio de Maclaurin de grado $n=3$ para $e^x$ y evalúalo en $x=1$.
Elige $f(x)=e^x$, $x=1$, $n=3$.
La calculadora construye $T_3(x)$ a partir de derivadas en 0 y luego muestra el polinomio y el valor numérico $T_3(1)$.
Ejemplo 2: $\sin(x)$ en $x=0.5$
El seno tiene términos de potencias impares con signos alternos alrededor de 0, así que el polinomio refleja ese patrón clásico.
Elige $f(x)=\sin(x)$, $x=0.5$, $n=5$.
La herramienta muestra $T_5(x)$ y la aproximación $T_5(0.5)$.
Ejemplo 3: $\ln(1+x)$ en $x=0.5$
Los logaritmos requieren cuidado con el dominio. Este ejemplo se mantiene dentro del dominio válido $1+x>0$.
Elige $f(x)=\ln(1+x)$, $x=0.5$, $n=3$.
La calculadora construye el polinomio de Maclaurin de grado 3 y lo evalúa en $x=0.5$.
Ejemplo 4: $\frac{1}{1-x}$ en $x=0.2$
Esta función se desarrolla de forma limpia alrededor de 0, pero no está definida en $x=1$, así que el valor de entrada debe mantenerse lejos de ese punto.
Elige $f(x)=\frac{1}{1-x}$, $x=0.2$, $n=4$.
La herramienta muestra el polinomio $T_4(x)$ y la aproximación numérica $T_4(0.2)$.
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Preguntas sobre los polinomios de Taylor y Maclaurin
Respuestas rápidas sobre el polinomio de Maclaurin, el grado n y cómo interpretar T_n(x).
Calcula el polinomio de Maclaurin $T_n(x)$, que es el polinomio de Taylor centrado en $a=0$, y lo evalúa en el valor de $x$ que introduzcas.
La calculadora usa $T_n(x)=\sum_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}(0)}{k!}x^k$ y construye el polinomio término a término hasta el grado $n$.
$T_n(x)$ es una aproximación polinómica de $f(x)$ cerca de 0. El valor mostrado como $T_n(x)$ es la aproximación de la herramienta para $f(x)$ en tu $x$ elegido.
A grados altos, los factoriales y los términos intermedios crecen muy rápido, lo que puede causar desbordamientos o resultados inestables en coma flotante. Esta herramienta limita $n$ para mantener la fiabilidad de los cálculos.
Para $\ln(1+x)$ exige $1+x>0$ en tu valor de $x$. Para $\frac{1}{1-x}$ exige $x\ne 1$. Si el valor viola el dominio, la herramienta devuelve un error en lugar de un resultado.
Esta herramienta devuelve el polinomio y su valor numérico, pero no calcula una cota de error. Para una cota garantizada en un punto, usa la herramienta de cota del resto de Taylor.
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