Calculadora de cota del resto de Taylor

Esta herramienta calcula el valor de un polinomio de Taylor $T_n(x)$ y una cota explícita del error de la aproximación, mostrando los pasos con el resto de Lagrange. Elige una función, define el centro $a$, el punto $x$ y el grado $n$, y la calculadora te devuelve $T_n(x)$ y una cota para $|R_n(x)|$. Para ver más herramientas de este tema, visita Sucesiones y series.

Calcula el valor del polinomio de Taylor y una cota del resto de Lagrange.

$$|R_n(x)|\le \frac{M}{(n+1)!}|x-a|^{n+1}$$

Qué significa la cota del resto de Taylor

Un polinomio de Taylor aproxima una función cerca de un punto central $a$. El término de resto $R_n(x)$ es la diferencia entre el valor real y la aproximación: $$f(x)=T_n(x)+R_n(x)$$ Esta calculadora entrega una cota numérica superior para ese error, de modo que no solo puedas decir “aquí está la aproximación”, sino también “como máximo, se puede desviar hasta esto”.

Nota: se trata de una cota superior garantizada, no necesariamente del error exacto. El error real puede ser menor que la cota.

$$|R_n(x)|\le \frac{M}{(n+1)!}|x-a|^{n+1},\quad M=\max_{t\in[\min(a,x),\max(a,x)]}|f^{(n+1)}(t)|$$

Cómo calcula la herramienta la cota

La herramienta hace dos cosas:

  • Calcular $T_n(x)$: evalúa el polinomio de Taylor en $x$ usando las derivadas en $a$.
  • Calcular una cota del error: determina un $M$ que acote por arriba $|f^{(n+1)}(t)|$ en el intervalo entre $a$ y $x$, y lo sustituye en la fórmula del resto de Lagrange.

En la práctica, $M$ se elige de forma que el resultado sea fiable y rápido. Por ejemplo, para $e^x$ el máximo aparece en el extremo del intervalo con mayor valor de $t$. Para $\sin(x)$ y $\cos(x)$, los valores absolutos de las derivadas relevantes no superan 1. Para $\ln(1+x)$, el máximo se alcanza en el extremo menor del intervalo. Para $\frac{1}{1-x}$, el máximo viene del extremo más cercano a $t=1$ (siempre que el intervalo no cruce la singularidad).

La salida es práctica: obtienes $T_n(x)$, el intervalo utilizado, el valor de $M$ y la cota final para $|R_n(x)|$.

Reglas de entrada y notas de dominio

Cada función tiene requisitos de dominio distintos, y la cota depende del intervalo entre $a$ y $x$. La calculadora comprueba estas condiciones antes de calcular una cota.

  • Grado $n$: elige un entero no negativo. Un $n$ mayor suele mejorar la aproximación, pero los factoriales crecen muy rápido.
  • Intervalo: la herramienta usa $t\in[\min(a,x),\max(a,x)]$ al calcular $M$.
  • Regla general: si el intervalo cruza un punto donde la función no está definida o donde no existe la derivada necesaria, no se puede obtener una cota válida.
  • $\ln(1+x)$: requiere $1+t>0$ en todo el intervalo (por lo que no puede cruzar $t=-1$).
  • $\frac{1}{1-x}$: requiere $t\ne 1$ en todo el intervalo (por lo que el intervalo no puede cruzar $t=1$).

Si quieres la serie de Taylor o Maclaurin completa (no solo la cota en un punto), usa la herramienta Serie de Taylor y Maclaurin. Si necesitas determinar el comportamiento de convergencia de una serie infinita, usa la herramienta Prueba de convergencia de series.

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Preguntas sobre la calculadora de cota del resto de Taylor

Respuestas rápidas sobre polinomios de Taylor, resto de Lagrange y cotas de error.

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