Calculadora de Completar o Quadrado

Esta ferramenta mostra como completar o quadrado para reescrever uma expressão quadrática na forma do vértice. Informe os coeficientes de $ax^2 + bx + c$ e obtenha a forma transformada $a(x - h)^2 + k$ com passos claros, incluindo o vértice $(h, k)$ e o eixo de simetria $x = h$. A forma do vértice é ótima para interpretar o gráfico, comparar quadráticas e encontrar máximos ou mínimos com rapidez. Completar o quadrado é um tópico central em Álgebra.

Reescreva uma quadrática na forma do vértice usando completar o quadrado:

$$ax^2 + bx + c = a(x-h)^2 + k$$

Não pode ser 0 em uma equação quadrática.

O Que Significa Completar o Quadrado?

Completar o quadrado reescreve uma expressão quadrática de modo que ela contenha um quadrado perfeito. O objetivo é transformar $ax^2 + bx + c$ em $a(x - h)^2 + k$. Essa forma facilita a leitura do vértice e se conecta diretamente com o gráfico, a resolução e a identificação de máximos ou mínimos.

Se você quer encontrar as raízes direto, a fórmula de Bhaskara e o método do discriminante costumam ser mais rápidos. Use o Solucionador de Equação Quadrática quando o seu foco forem as raízes. Completar o quadrado é outro método padrão que aparece bastante em provas e livros de álgebra, e também ajuda a entender de onde vem a fórmula quadrática.

Forma do Vértice e o Vértice

A forma do vértice é: $$a(x-h)^2 + k$$ O vértice da parábola é $(h, k)$. O eixo de simetria é $x = h$. O sinal de $a$ indica se a parábola abre para cima ou para baixo, e o valor de $k$ é o mínimo quando $a > 0$ ou o máximo quando $a < 0$.

A partir da forma padrão $ax^2 + bx + c$, também dá para calcular o vértice diretamente: $$h = -\frac{b}{2a} \quad\text{e}\quad k = c - \frac{b^2}{4a}$$ portanto, o eixo de simetria é: $$x = -\frac{b}{2a}$$

Como Completar o Quadrado

Comece por: $$ax^2 + bx + c$$ Se $a ≠ 1$, coloque $a$ em evidência apenas nos termos $x^2$ e $x$. Depois, pegue a metade do coeficiente de $x$ dentro do parêntese, eleve ao quadrado, some e subtraia esse mesmo valor para manter a expressão equivalente e reescreva o trinômio como um quadrado perfeito. No fim, simplifique a parte constante para chegar à forma do vértice.

O objetivo é reescrever a quadrática para que ela contenha um quadrado perfeito: $$ax^2 + bx + c = a(x-h)^2 + k$$ onde $(h, k)$ é o vértice.

Quando a Não É 1

Se o coeficiente a não é 1, primeiro coloque-o em evidência nos termos com $x^2$ e $x$, não no termo constante. Depois, complete o quadrado dentro do parêntese e mantenha a fora. Isso evita erros quando o coeficiente líder escala o quadrado perfeito.

$$ax^2 + bx + c = a\left(x^2 + \frac{b}{a}x\right) + c$$ $$= a\left[\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 - \left(\frac{b}{2a}\right)^2\right] + c$$ $$= a\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 + \left(c - \frac{b^2}{4a}\right)$$

Se surgirem frações, a Calculadora de MDC pode ajudar a simplificar, e a Calculadora de MMC é útil quando você precisa de um denominador comum.

Usando a Forma do Vértice para Resolver

Completar o quadrado não serve apenas para reescrever. Se você igualar a quadrática a zero, a forma do vértice facilita a resolução ao tomar raízes quadradas. Se o valor do lado direito ficar negativo, não existem raízes reais e as soluções são complexas.

$$a(x-h)^2 + k = 0$$ $$(x-h)^2 = -\frac{k}{a}$$ $$x = h \pm \sqrt{-\frac{k}{a}}$$

Para obter as mesmas raízes pelo método do discriminante, use o Solucionador de Equação Quadrática.

Por Que a Forma do Vértice Ajuda no Gráfico

A forma do vértice mostra as principais características da parábola de forma imediata. O vértice é (h, k), o eixo de simetria é x = h, e o sinal de a indica se ela abre para cima ou para baixo. O valor de |a| controla se a curva fica mais aberta ou mais fechada, e o valor k no vértice dá o mínimo quando a é positivo ou o máximo quando a é negativo.

$$a(x-h)^2 + k \quad \Rightarrow \quad \text{vertex }(h,k),\ \text{axis }x=h$$

Erros Comuns para Evitar

Pequenos erros de sinal e de distribuição são os mais frequentes ao completar o quadrado. Fique atento a estes pontos ao revisar seus passos.

  • Somar o termo do quadrado e esquecer de subtrair o mesmo valor, alterando a expressão original.
  • Confundir os sinais entre $x + \frac{b}{2a}$ e $x - h$, onde $h = -\frac{b}{2a}$.
  • Colocar $a$ em evidência de forma incorreta, ou distribuir a errado ao final.
  • Perder parênteses ao expandir para conferir e voltar à forma padrão.

Exemplos Resolvidos

Exemplo 1: a = 1 (Caso simples)

Use quando o coeficiente líder é 1. Pegue a metade do coeficiente de x, eleve ao quadrado e depois compense no termo constante.

Reescreva: $$x^2 + 6x + 5$$ Pegue a metade de 6 (que é 3), eleve ao quadrado (9) e depois ajuste a constante.

$$x^2 + 6x + 5 = (x^2 + 6x + 9) + 5 - 9$$ $$= (x + 3)^2 - 4$$

A forma do vértice é: $$ (x + 3)^2 - 4 $$ O vértice é: $$ (-3,\; -4) $$

Exemplo 2: a ≠ 1 (Coloque em evidência primeiro)

Use quando a não é 1. Coloque a em evidência nos termos $x^2$ e $x$ primeiro, e depois complete o quadrado dentro do parêntese.

Reescreva: $$2x^2 + 8x + 1$$ Coloque 2 em evidência nos dois primeiros termos: $$2(x^2 + 4x) + 1$$

Complete o quadrado por dentro: $$2\big[(x^2 + 4x + 4) - 4\big] + 1$$ $$= 2(x + 2)^2 - 8 + 1$$ $$= 2(x + 2)^2 - 7$$

A forma do vértice é: $$2(x + 2)^2 - 7$$ O vértice é: $$(-2,\; -7)$$

Exemplo 3: Trinômio Quadrado Perfeito

Use quando o trinômio já é um quadrado perfeito. Você pode reescrever diretamente sem somar nem subtrair nada.

Reescreva: $$x^2 - 4x + 4$$ Isso já é um quadrado perfeito: $$x^2 - 4x + 4 = (x - 2)^2$$

A forma do vértice é: $$(x - 2)^2 + 0$$ O vértice é: $$(2,\; 0)$$

Se você quiser resolver a equação relacionada, iguale a expressão a zero e resolva. Você também pode comparar esse caminho com o método da fórmula quadrática.

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Perguntas sobre completar o quadrado

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