Solucionador de sistema de equações 3x3

Esta ferramenta resolve um sistema de três equações lineares com três variáveis e mostra o passo a passo usando a regra de Cramer. Informe os coeficientes de $a_1x+b_1y+c_1z=d_1,\quad a_2x+b_2y+c_2z=d_2,\quad a_3x+b_3y+c_3z=d_3$ e o solucionador vai calcular os determinantes $D$, $D_x$, $D_y$ e $D_z$ para identificar se o sistema tem solução única, não tem solução ou tem infinitas soluções. Quando existe solução única, ele retorna os valores de $x$, $y$ e $z$. Para mais ferramentas de álgebra, explore Álgebra.

Resolva um sistema 3x3 na forma:

$$a_1x + b_1y + c_1z = d_1$$
$$a_2x + b_2y + c_2z = d_2$$
$$a_3x + b_3y + c_3z = d_3$$

O que é um sistema de equações 3x3?

Um sistema 3x3 é um conjunto de três equações lineares escritas com as mesmas três variáveis, geralmente $x$, $y$ e $z$. Uma solução é uma trinca $(x,y,z)$ que satisfaz as três equações ao mesmo tempo. Alguns sistemas têm uma única solução, outros não têm solução (quando as equações entram em conflito) e outros têm infinitas soluções (quando pelo menos uma equação é redundante).

Como este solucionador funciona

Este solucionador usa a regra de Cramer, baseada em determinantes. Primeiro, calcula o determinante principal $D$ da matriz de coeficientes. Depois, calcula $D_x$, $D_y$ e $D_z$ substituindo, uma coluna por vez, pelos termos constantes. Esses valores determinam o tipo de solução e, quando ela existe, fornecem $x$, $y$ e $z$.

$$D=\begin{vmatrix} a_1 & b_1 & c_1\\ a_2 & b_2 & c_2\\ a_3 & b_3 & c_3 \end{vmatrix},\quad D_x=\begin{vmatrix} d_1 & b_1 & c_1\\ d_2 & b_2 & c_2\\ d_3 & b_3 & c_3 \end{vmatrix},\quad D_y=\begin{vmatrix} a_1 & d_1 & c_1\\ a_2 & d_2 & c_2\\ a_3 & d_3 & c_3 \end{vmatrix},\quad D_z=\begin{vmatrix} a_1 & b_1 & d_1\\ a_2 & b_2 & d_2\\ a_3 & b_3 & d_3 \end{vmatrix}$$
$$D\ne 0 \Rightarrow x=\frac{D_x}{D},\; y=\frac{D_y}{D},\; z=\frac{D_z}{D}$$

Como interpretar os determinantes

A regra de Cramer também permite classificar o sistema com clareza:

  • Solução única: se $D \ne 0$, o sistema tem exatamente uma solução $(x,y,z)$.
  • Infinitas soluções: se $D=0$ e $D_x=0$ e $D_y=0$ e $D_z=0$, as equações são consistentes, mas dependentes, e portanto há infinitas soluções.
  • Sem solução: se $D=0$ mas pelo menos um entre $D_x$, $D_y$ ou $D_z$ é diferente de zero, as equações são inconsistentes e não existe $(x,y,z)$ que satisfaça todas.

Se você precisa apenas de um sistema com duas variáveis, use o Solucionador de sistema 2x2. Para uma única equação com uma variável, use o Solucionador de equação linear. Se a sua equação inclui um termo $x^2$, use o Solucionador de equação quadrática.

Observações de entrada e estabilidade numérica

Você pode informar coeficientes inteiros ou decimais, inclusive valores negativos. A ferramenta formata as saídas com a precisão decimal configurada. Em dados reais, determinantes podem ficar muito próximos de zero por causa de arredondamentos, mesmo quando o valor exato é zero. Para manter a classificação estável, o solucionador trata valores muito próximos de zero como zero. Se o seu caso estiver no limite entre categorias, tente aumentar a precisão ou usar frações exatas quando possível.

Exemplos resolvidos com passos

Exemplo 1: Solução única

Um sistema padrão com uma solução bem definida.

Resolva: $$\begin{cases} x + y + z = 6\\ 2x - y + z = 5\\ x + 2y - z = 3 \end{cases}$$

Calcule o determinante principal: $$D=\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1\\ 2 & -1 & 1\\ 1 & 2 & -1 \end{vmatrix}=-9$$

Substitua colunas para calcular: $$D_x=\begin{vmatrix} 6 & 1 & 1\\ 5 & -1 & 1\\ 3 & 2 & -1 \end{vmatrix}=-18,\quad D_y=\begin{vmatrix} 1 & 6 & 1\\ 2 & 5 & 1\\ 1 & 3 & -1 \end{vmatrix}=-9,\quad D_z=\begin{vmatrix} 1 & 1 & 6\\ 2 & -1 & 5\\ 1 & 2 & 3 \end{vmatrix}=-27$$

Como $D\ne 0$: $$x=\frac{D_x}{D}=2,\quad y=\frac{D_y}{D}=1,\quad z=\frac{D_z}{D}=3$$

Exemplo 2: Infinitas soluções

As equações descrevem a mesma condição, então há infinitas soluções.

Resolva: $$\begin{cases} x + y + z = 3\\ 2x + 2y + 2z = 6\\ 3x + 3y + 3z = 9 \end{cases}$$

Aqui, cada equação é um múltiplo da primeira, portanto: $$D=0,\quad D_x=0,\quad D_y=0,\quad D_z=0$$

Como todos os determinantes são zero, o sistema tem infinitas soluções. Por exemplo, qualquer $(x,y,z)$ que satisfaça $x+y+z=3$ funciona.

Exemplo 3: Sem solução

As equações entram em conflito, então não existe $(x,y,z)$ que satisfaça todas ao mesmo tempo.

Resolva: $$\begin{cases} x + y + z = 1\\ x + y + z = 2\\ x - y + z = 0 \end{cases}$$

As duas primeiras equações já se contradizem. Em termos de determinantes, as linhas de coeficientes são dependentes, então $D=0$, mas os termos constantes são incompatíveis, e pelo menos um entre $D_x$, $D_y$ ou $D_z$ é diferente de zero.

Portanto, o sistema não tem solução.

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Perguntas sobre o solucionador 3x3

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