Detalhes
- Polinômio Tₙ(x): —
Passo a passo
Explicação:
Calculadora de polinômios de Taylor e Maclaurin
Esta ferramenta calcula um polinômio de Maclaurin (o polinômio de Taylor centrado em $a=0$) e o avalia no ponto $x$ que você escolher. Selecione uma função, informe $x$ e o grau $n$, e a calculadora retorna o polinômio $T_n(x)$ e o valor numérico de $T_n(x)$, com passos. Para mais ferramentas deste tema, explore Sequências e séries.
Calcule o polinômio de Maclaurin e o valor dele em x.
$$T_n(x)=\sum_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}(0)}{k!}x^k$$
O que esta calculadora calcula
Um polinômio de Taylor aproxima uma função perto de um centro $a$. O polinômio de Maclaurin é o caso especial em que $a=0$: $$T_n(x)=\sum_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}(0)}{k!}x^k$$ Esta ferramenta constrói esse polinômio até o grau $n$ e depois o avalia no seu valor de $x$. O resultado é uma aproximação prática para estimativas rápidas, conferência de contas e para entender o comportamento de uma função perto de 0.
Se você também precisa de um limite de erro garantido para a aproximação em um ponto, use a Calculadora de limite do resto de Taylor.
Como os passos são montados
A calculadora segue diretamente a definição do polinômio de Maclaurin. Para cada $k$ de 0 até $n$, ela calcula $f^{(k)}(0)$, divide por $k!$ e usa isso como coeficiente de $x^k$. Em seguida, soma os termos para formar $T_n(x)$ e, por fim, calcula $T_n(x)$ no valor de $x$ que você informou.
Para manter a saída legível, os passos destacam os primeiros coeficientes e o polinômio final. O valor numérico mostrado para $T_n(x)$ é formatado conforme a precisão decimal configurada no site.
Notas de domínio e limites
A ferramenta verifica regras básicas de domínio antes de calcular o valor do polinômio. Para $\ln(1+x)$, é necessário ter $1+x>0$ no seu valor de $x$. Para $\frac{1}{1-x}$, é necessário ter $x\ne 1$. Se a entrada estiver fora do domínio válido, a calculadora interrompe e mostra um erro, em vez de produzir um resultado enganoso.
Também existe um limite de grau (até $n=25$) para manter os cálculos estáveis. Graus maiores fazem fatoriais e valores intermediários crescerem muito rápido, o que pode causar estouro ou resultados instáveis em ponto flutuante. Se você precisa analisar convergência ou responder “esta série converge?”, use o Teste de convergência de séries.
Exemplos resolvidos com passos
Exemplo 1: $e^x$ em $x=1$
Calcule o polinômio de Maclaurin de grau $n=3$ para $e^x$ e avalie em $x=1$.
Escolha $f(x)=e^x$, $x=1$, $n=3$.
A calculadora monta $T_3(x)$ a partir das derivadas em 0 e então mostra o polinômio e o valor numérico $T_3(1)$.
Exemplo 2: $\sin(x)$ em $x=0.5$
O seno tem termos de potências ímpares com sinais alternados ao redor de 0, então o polinômio mostra esse padrão clássico.
Escolha $f(x)=\sin(x)$, $x=0.5$, $n=5$.
A ferramenta mostra $T_5(x)$ e a aproximação $T_5(0.5)$.
Exemplo 3: $\ln(1+x)$ em $x=0.5$
Logaritmos exigem cuidado com o domínio. Este exemplo permanece no domínio válido $1+x>0$.
Escolha $f(x)=\ln(1+x)$, $x=0.5$, $n=3$.
A calculadora constrói o polinômio de Maclaurin de grau 3 e o avalia em $x=0.5$.
Exemplo 4: $\frac{1}{1-x}$ em $x=0.2$
Essa função se expande de forma bem direta em torno de 0, mas não é definida em $x=1$, então a entrada precisa ficar longe desse ponto.
Escolha $f(x)=\frac{1}{1-x}$, $x=0.2$, $n=4$.
A ferramenta mostra o polinômio $T_4(x)$ e a aproximação numérica $T_4(0.2)$.
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Perguntas sobre polinômios de Taylor e Maclaurin
Respostas rápidas sobre o polinômio de Maclaurin, o grau n e como interpretar T_n(x).
Ela calcula o polinômio de Maclaurin $T_n(x)$, que é o polinômio de Taylor centrado em $a=0$, e o avalia no valor de $x$ que você informar.
A calculadora usa $T_n(x)=\sum_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}(0)}{k!}x^k$ e monta o polinômio termo a termo até o grau $n$.
$T_n(x)$ é uma aproximação polinomial de $f(x)$ perto de 0. O valor mostrado é a aproximação da ferramenta para $f(x)$ no $x$ escolhido.
Graus maiores fazem fatoriais e termos intermediários crescerem muito rápido, o que pode causar estouro ou resultados instáveis em ponto flutuante. Esta ferramenta limita $n$ para manter os cálculos confiáveis.
Para $\ln(1+x)$, ela exige $1+x>0$ no seu valor de $x$. Para $\frac{1}{1-x}$, ela exige $x\ne 1$. Se a entrada violar o domínio, a ferramenta retorna um erro em vez de um resultado.
Esta ferramenta mostra o polinômio e o valor numérico, mas não calcula um limite de erro. Para um limite garantido em um ponto, use a ferramenta de limite do resto de Taylor.
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