Calculadora de limite do resto de Taylor

Esta ferramenta calcula o valor do polinômio de Taylor $T_n(x)$ e um limite explícito para o erro da aproximação, mostrando as etapas pelo resto de Lagrange. Escolha a função, defina o centro $a$, o ponto $x$ e o grau $n$; a calculadora retorna $T_n(x)$ e um limite para $|R_n(x)|$. Para mais ferramentas deste tema, veja Sequências e séries.

Calcule o valor do polinômio de Taylor e um limite do resto de Lagrange.

$$|R_n(x)|\le \frac{M}{(n+1)!}|x-a|^{n+1}$$

O que significa o limite do resto de Taylor

O polinômio de Taylor aproxima uma função perto de um ponto central $a$. O termo do resto $R_n(x)$ é a diferença entre o valor real e a aproximação: $$f(x)=T_n(x)+R_n(x)$$ Esta calculadora fornece um limite numérico superior para esse erro, para você dizer não só “aqui está a aproximação”, mas também “no máximo, ela pode errar por isso”.

Observação: este é um limite superior garantido, não necessariamente o erro exato. O erro real pode ser menor do que o limite.

$$|R_n(x)|\le \frac{M}{(n+1)!}|x-a|^{n+1},\quad M=\max_{t\in[\min(a,x),\max(a,x)]}|f^{(n+1)}(t)|$$

Como a ferramenta calcula o limite

A ferramenta faz duas coisas:

  • Calcular $T_n(x)$: avalia o polinômio de Taylor em $x$ usando as derivadas em $a$.
  • Calcular um limite para o erro: determina um $M$ que limita por cima $|f^{(n+1)}(t)|$ no intervalo entre $a$ e $x$ e aplica a fórmula do resto de Lagrange.

Na prática, $M$ é escolhido de forma rápida e confiável. Por exemplo, para $e^x$ o máximo aparece no extremo do intervalo com maior valor de $t$. Para $\sin(x)$ e $\cos(x)$, os módulos das derivadas relevantes ficam no máximo em 1. Para $\ln(1+x)$, o máximo ocorre no extremo menor do intervalo. Para $\frac{1}{1-x}$, o máximo vem do extremo mais próximo de $t=1$ (desde que o intervalo não atravesse a singularidade).

A saída é prática: você recebe $T_n(x)$, o intervalo usado, o valor de $M$ e o limite final para $|R_n(x)|$.

Regras de entrada e observações de domínio

Funções diferentes têm exigências de domínio diferentes, e o limite depende do intervalo entre $a$ e $x$. A calculadora verifica essas condições antes de calcular um limite.

  • Grau $n$: escolha um inteiro não negativo. Um $n$ maior costuma melhorar a aproximação, mas fatoriais crescem muito rápido.
  • Intervalo: a ferramenta usa $t\in[\min(a,x),\max(a,x)]$ ao calcular $M$.
  • Regra geral: se o intervalo atravessar um ponto onde a função não está definida ou onde a derivada necessária não existe, não é possível obter um limite válido.
  • $\ln(1+x)$: exige $1+t>0$ em todo o intervalo (portanto não pode cruzar $t=-1$).
  • $\frac{1}{1-x}$: exige $t\ne 1$ em todo o intervalo (portanto o intervalo não pode cruzar $t=1$).

Se você quiser a série de Taylor ou de Maclaurin em si (e não apenas um limite em um ponto), use a ferramenta Série de Taylor e Maclaurin. Se você precisa determinar o comportamento de convergência de uma série infinita, use a ferramenta Teste de convergência de séries.

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Perguntas sobre a calculadora de limite do resto de Taylor

Respostas rápidas sobre polinômios de Taylor, resto de Lagrange e limites de erro.

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