حاسبة نظام المعادلات 2x2

تحل هذه الأداة نظامًا مكوّنًا من معادلتين خطيتين بمتغيرين، وتعرض الحل خطوة بخطوة باستخدام قاعدة كرامر. أدخل معاملات النظام $a_1x+b_1y=c_1,\quad a_2x+b_2y=c_2$ وستحسب الحاسبة المحددات $D$ و $D_x$ و $D_y$ لتحديد ما إذا كان للنظام حل وحيد، أو لا حل، أو حلول لا نهائية. لاكتشاف المزيد من أدوات الجبر، تفضل بزيارة الجبر.

حل نظام 2x2 على الصورة:

$$a_1x + b_1y = c_1$$
$$a_2x + b_2y = c_2$$

ما هو نظام المعادلات 2x2؟

نظام 2x2 هو معادلتان خطيتان في المتغيرين نفسيهما، وغالبًا ما يكونان $x$ و $y$. من الناحية الهندسية تمثل كل معادلة مستقيمًا، والحل هو نقطة تقاطع المستقيمين. وبحسب شكل المستقيمين قد يكون هناك تقاطع واحد (حل وحيد)، أو لا يوجد تقاطع (لا حل)، أو عدد لا نهائي من نقاط التقاطع (المستقيمان متطابقان).

كيف تعمل هذه الحاسبة؟

تستخدم هذه الحاسبة قاعدة كرامر. فهي تحسب ثلاثة محددات: المحدد الرئيسي $D$، بالإضافة إلى $D_x$ و $D_y$ حيث تُستبدل الثوابت بعمود واحد في كل مرة. هذه القيم تحدد نوع الحل، وعند وجود حل وحيد تعطيك قيمتي $x$ و $y$ بدقة.

$$D=a_1b_2-a_2b_1,\quad D_x=c_1b_2-c_2b_1,\quad D_y=a_1c_2-a_2c_1$$
$$D\ne 0 \Rightarrow x=\frac{D_x}{D},\; y=\frac{D_y}{D}$$

كيف نقرأ قيم المحددات؟

تمنحك قاعدة كرامر تصنيفًا واضحًا لحالة النظام:

  • حل وحيد: إذا كان $D \ne 0$ فهناك حل واحد فقط $(x,y)$.
  • حلول لا نهائية: إذا كان $D=0$ و $D_x=0$ و $D_y=0$ فالمعادلتان تمثلان المستقيم نفسه.
  • لا حل: إذا كان $D=0$ ولكن كانت إحدى القيمتين $D_x$ أو $D_y$ غير صفرية، فالمستقيمان متوازيان ولا يتقاطعان.

إذا كنت تحتاج فقط إلى حل معادلة واحدة بمتغير واحد، استخدم حاسبة المعادلة الخطية. وإذا كانت معادلتك تتضمن حدًا من نوع $x^2$، استخدم حاسبة المعادلة التربيعية.

ملاحظات حول الإدخال

يمكن أن تكون المعاملات أعدادًا صحيحة أو عشرية. وتعرض الأداة النتائج وفق دقة المنازل العشرية المضبوطة. وإذا كانت قيم المحددات قريبة جدًا من الصفر بسبب التقريب، فستتعامل الحاسبة معها على أنها صفر للحفاظ على تصنيف ثابت.

أمثلة محلولة مع خطوات

مثال 1: حل وحيد

حل نظام له نقطة تقاطع واحدة.

حل: $$\begin{cases} 2x + 3y = 13\\ x - y = 1 \end{cases}$$

احسب المحددات: $$D=(2)(-1)-(1)(3)=-2-3=-5$$ $$D_x=(13)(-1)-(1)(3)=-13-3=-16$$ $$D_y=(2)(1)-(1)(13)=2-13=-11$$

بما أن $D\ne 0$: $$x=\frac{D_x}{D}=\frac{-16}{-5}=3.2,\quad y=\frac{D_y}{D}=\frac{-11}{-5}=2.2$$

مثال 2: حلول لا نهائية

المعادلتان مضاعفتان لبعضهما، لذلك تمثلان المستقيم نفسه.

حل: $$\begin{cases} x + 2y = 4\\ 2x + 4y = 8 \end{cases}$$

احسب المحددات: $$D=(1)(4)-(2)(2)=4-4=0$$ $$D_x=(4)(4)-(8)(2)=16-16=0$$ $$D_y=(1)(8)-(2)(4)=8-8=0$$

بما أن $D=0$ و $D_x=0$ و $D_y=0$، فالنظام له حلول لا نهائية.

مثال 3: لا حل

المستقيمان متوازيان، لذلك لن يتقاطعا.

حل: $$\begin{cases} x + y = 2\\ 2x + 2y = 5 \end{cases}$$

احسب المحددات: $$D=(1)(2)-(2)(1)=2-2=0$$ $$D_x=(2)(2)-(5)(1)=4-5=-1$$ $$D_y=(1)(5)-(2)(2)=5-4=1$$

بما أن $D=0$ ولكن إحدى القيمتين $D_x$ أو $D_y$ غير صفرية، فلا يوجد حل للنظام.

واصل الاستكشاف في الرياضيات أو ارجع إلى الحاسبات لتصفح المزيد من الأدوات.

أسئلة حول حاسبة نظام 2x2

إجابات سريعة عن المحددات وقاعدة كرامر وأنواع الحلول.

موثوق به من قبل آلاف المستخدمين شهريًا. أدوات سريعة ودقيقة وتحافظ على الخصوصية.