خطوة بخطوة
الخطوات الأساسية (باستخدام GCD):
حاسبة المضاعف المشترك الأصغر (LCM)
تحسب هذه الأداة المضاعف المشترك الأصغر (LCM) لعددين أو ثلاثة أعداد صحيحة وتعرض الناتج خطوة بخطوة اعتمادًا على العلاقة مع القاسم المشترك الأكبر (GCD). أدخل $a$ و $b$ (تُقبل القيم السالبة)، ويمكنك إدخال $c$ اختياريًا، لحساب LCM، ومعرفة قيمة GCD التي تُستخدم في الحساب، والتعامل مع حالات مثل إدخال $0$. يكون LCM مفيدًا أكثر عندما تحتاج إلى أصغر مقام مشترك عند جمع الكسور أو طرحها. لمزيد من موضوعات بنية الأعداد مثل LCM، تفضل بزيارة نظرية الأعداد.
أدخل عددين صحيحين لحساب المضاعف المشترك الأصغر (LCM).
أعداد صحيحة فقط. لا يُسمح بالكسور العشرية.
يمكنك استخدام الأعداد السالبة أيضاً.
قيمة ثالثة اختيارية
ما هو المضاعف المشترك الأصغر (LCM)؟
المضاعف المشترك الأصغر (LCM) لعددين أو ثلاثة أعداد صحيحة هو أصغر عدد صحيح موجب يكون مضاعفًا لكل منها. إذا كتبت مضاعفات كل عدد، فإن LCM هو أول قيمة تظهر في جميع القوائم.
لماذا يُستخدم LCM مع الكسور؟
عند جمع الكسور أو طرحها تحتاج إلى مقام مشترك يمكن لكل من المقامين القسمة عليه. أي مضاعف مشترك يصلح، لكن LCM يعطي أصغر مقام مشترك، وهذا يجعل الحساب أوضح وأقل عرضة للأخطاء.
- جمع الكسور: اختر مقامًا مشتركًا، حوّل الكسرين، ثم اجمع.
- مقارنة الكسور: وجود مقام مشترك يتيح مقارنة البسوط مباشرة.
- تقليل الخطوات: المقامات الأصغر تقلل الأخطاء وتبسّط العمل.
إذا كان هدفك التبسيط أو استخراج عوامل صحيحة مشتركة، استخدم حاسبة القاسم المشترك الأكبر (GCD). وإذا كنت تحتاج لمعرفة ما إذا كان العدد أوليًا (وهو ما يؤثر على بنية العوامل)، استخدم فاحص الأعداد الأولية.
كيف يتم حساب LCM؟
طريقة موثوقة لحساب LCM هي استخدام العلاقة بين LCM و GCD. تقوم الحاسبة أولًا بإيجاد GCD باستخدام خوارزمية إقليدس، ثم تستخدم تلك القيمة لحساب LCM. هذا يتجنب سرد المضاعفات ويظل سريعًا حتى مع الأعداد الكبيرة. وإذا أردت حساب GCD مباشرة، استخدم حاسبة القاسم المشترك الأكبر (GCD).
$$\operatorname{lcm}(a,b)=\frac{|a\cdot b|}{\gcd(a,b)} \quad (a\ne0,\ b\ne0)$$
$$\operatorname{lcm}(a,b,c)=\operatorname{lcm}(\operatorname{lcm}(a,b),c)$$
عند إدخال $c$، تطبق الحاسبة القاعدة نفسها خطوة بخطوة: نحسب أولًا $\operatorname{lcm}(a,b)$ ثم نحسب LCM للناتج مع $c$.
إذا كانت أي قيمة تساوي $0$ فإن LCM يساوي $0$. وإذا كانت جميع القيم $0$ فإن هذه الحاسبة تُرجع $0$ وفقًا للعرف.
قواعد الإدخال والحالات الخاصة
هذه الأداة مخصصة للأعداد الصحيحة. إذا أدخلت عددًا سالبًا فلن تؤثر الإشارة على LCM لأن النتيجة تُعرض كمقدار موجب. وإذا أدخلت عددًا عشريًا فلن يُعامل كمسألة LCM قياسية للأعداد الصحيحة.
- أحد المدخلين يساوي $0$: يكون LCM = $0$.
- جميع المدخلات تساوي $0$: تُرجع هذه الحاسبة $0$ وفقًا للعرف.
- أعداد صحيحة كبيرة جدًا: قد تتجاوز النتائج نطاق الأعداد الآمنة في المتصفح.
أمثلة محلولة مع خطوات
مثال 1: LCM أساسي
استخدم هذا المثال لحساب LCM بسرعة عبر علاقة GCD، دون سرد المضاعفات.
أوجد: $$\operatorname{lcm}(12,18)$$ طريقة واضحة هي استخدام علاقة GCD بدلًا من كتابة المضاعفات.
احسب أولًا GCD: $$\gcd(12,18)=6$$
ثم: $$\operatorname{lcm}(12,18)=\frac{|12\cdot18|}{6}=36$$
مثال 2: أصغر مقام مشترك
استخدم هذا عند جمع الكسور عندما تريد أصغر مقام مشترك ممكن.
اجمع: $$\frac{1}{6}+\frac{1}{8}$$ أصغر مقام مشترك هو: $$\operatorname{lcm}(6,8)$$
احسب: $$\gcd(6,8)=2,\quad \operatorname{lcm}(6,8)=\frac{|6\cdot8|}{2}=24$$
حوّل ثم اجمع: $$\frac{1}{6}=\frac{4}{24},\quad \frac{1}{8}=\frac{3}{24} \Rightarrow \frac{4}{24}+\frac{3}{24}=\frac{7}{24}$$
مثال 3: LCM لثلاثة أعداد
استخدم هذا عندما تحتاج إلى LCM للقيمتين $a$ و $b$ ومعهما قيمة $c$ اختيارية. يتم الحساب بالتسلسل: نحسب أولًا $\operatorname{lcm}(a,b)$ ثم نحسب $\operatorname{lcm}(\text{الناتج},c)$.
أوجد: $$\operatorname{lcm}(12,18,30)$$ استخدم قاعدة التسلسل: $$\operatorname{lcm}(12,18,30)=\operatorname{lcm}(\operatorname{lcm}(12,18),30)$$
احسب أولًا $\operatorname{lcm}(12,18)$ باستخدام علاقة GCD. ابدأ بحساب GCD (خطوات خوارزمية إقليدس): $$18 = 12\cdot 1 + 6$$ $$12 = 6\cdot 2 + 0 \Rightarrow \gcd(12,18)=6$$
ثم: $$\operatorname{lcm}(12,18)=\frac{|12\cdot18|}{6}=36$$
الآن مع $c$: $$\operatorname{lcm}(36,30)$$ احسب GCD (مع خطوات): $$36 = 30\cdot 1 + 6$$ $$30 = 6\cdot 5 + 0 \Rightarrow \gcd(36,30)=6$$
أخيرًا: $$\operatorname{lcm}(36,30)=\frac{|36\cdot30|}{6}=180$$ إذن: $$\operatorname{lcm}(12,18,30)=180$$
مثال 4: أحد المدخلين يساوي 0
استخدم هذا لرؤية سلوك LCM عندما تكون إحدى القيمتين $0$.
أوجد: $$\operatorname{lcm}(0,15)$$ أي مضاعف مشترك يجب أن يكون مضاعفًا لـ $0$، والمضاعف الوحيد لـ $0$ هو $0$.
إذن: $$\operatorname{lcm}(0,15)=0$$
أسئلة حول حاسبة LCM
إجابات سريعة عن LCM والمضاعفات والمقامات المشتركة.
المضاعف المشترك الأصغر لعددين صحيحين هو أصغر عدد صحيح موجب يكون مضاعفًا لكليهما.
للعددين الصحيحين غير الصفريين $a$ و $b$: $\operatorname{lcm}(a,b)=\frac{|a\cdot b|}{\gcd(a,b)}$. تستخدم هذه الحاسبة هذه العلاقة.
عند جمع أو طرح الكسور، يجب أن يكون المقام المشترك مضاعفًا لكل مقام. يعطي LCM أصغر مقام مشترك ممكن.
إذا كانت إحدى القيم $0$ والأخرى غير صفرية، فإن LCM يساوي $0$ لأن $0$ هو المضاعف الوحيد للعدد $0$.
$\operatorname{lcm}(0,0)$ غير معرّف في الحساب القياسي لأنه لا يوجد أصغر مضاعف موجب مشترك.
نعم. للأعداد الصحيحة تُعرض قيمة LCM كقيمة غير سالبة. الإشارات السالبة لا تغيّر قيمة LCM.
LCM هو أصغر عدد موجب يقبل القسمة على العددين دون باقٍ. أما GCD فهو أكبر عدد موجب يقسمهما معًا. يُستخدم LCM للمقامات المشتركة، بينما يُستخدم GCD للاختزال والتحليل.
موثوق به من قبل آلاف المستخدمين شهريًا. أدوات سريعة ودقيقة وتحافظ على الخصوصية.