Solucionador de sistema de equações 2x2

Esta ferramenta resolve um sistema com duas equações lineares e duas variáveis e mostra o procedimento passo a passo usando a regra de Cramer. Informe os coeficientes de $a_1x+b_1y=c_1,\quad a_2x+b_2y=c_2$ e o solucionador calculará os determinantes $D$, $D_x$ e $D_y$ para identificar se o sistema tem solução única, não tem solução ou tem infinitas soluções. Para ver mais ferramentas de álgebra, explore Álgebra.

Resolva um sistema 2x2 na forma:

$$a_1x + b_1y = c_1$$
$$a_2x + b_2y = c_2$$

O que é um sistema de equações 2x2?

Um sistema 2x2 são duas equações lineares nas mesmas duas variáveis, geralmente $x$ e $y$. Geometricamente, cada equação representa uma reta. A solução é o ponto de interseção entre as duas retas. Dependendo das retas, o sistema pode ter um ponto de interseção (solução única), nenhum ponto de interseção (sem solução) ou infinitos pontos de interseção (a mesma reta).

Como este solucionador funciona

Este solucionador usa a regra de Cramer. Ele calcula três determinantes: o determinante principal $D$, além de $D_x$ e $D_y$, em que as constantes substituem uma coluna por vez. Esses valores indicam o tipo de solução e, quando existe, os valores exatos de $x$ e $y$.

$$D=a_1b_2-a_2b_1,\quad D_x=c_1b_2-c_2b_1,\quad D_y=a_1c_2-a_2c_1$$
$$D\ne 0 \Rightarrow x=\frac{D_x}{D},\; y=\frac{D_y}{D}$$

Como interpretar os determinantes

A regra de Cramer permite uma classificação direta:

  • Solução única: se $D \ne 0$, o sistema tem exatamente uma solução $(x,y)$.
  • Infinitas soluções: se $D=0$ e $D_x=0$ e $D_y=0$, as duas equações representam a mesma reta.
  • Sem solução: se $D=0$, mas pelo menos um entre $D_x$ e $D_y$ é diferente de zero, as retas são paralelas e não se cruzam.

Se você precisa resolver apenas uma equação com uma variável, use o Solucionador de equação linear. Se a sua equação tem um termo $x^2$, use o Solucionador de equações quadráticas.

Observações de entrada

Os coeficientes podem ser inteiros ou decimais. A ferramenta formata os resultados conforme a precisão decimal configurada. Se os determinantes ficarem extremamente próximos de zero (por causa do arredondamento), o solucionador os trata como zero para manter a classificação estável.

Exemplos resolvidos com passos

Exemplo 1: Solução única

Resolva um sistema com um único ponto de interseção.

Resolva: $$\begin{cases} 2x + 3y = 13\\ x - y = 1 \end{cases}$$

Calcule os determinantes: $$D=(2)(-1)-(1)(3)=-2-3=-5$$ $$D_x=(13)(-1)-(1)(3)=-13-3=-16$$ $$D_y=(2)(1)-(1)(13)=2-13=-11$$

Como $D\ne 0$: $$x=\frac{D_x}{D}=\frac{-16}{-5}=3.2,\quad y=\frac{D_y}{D}=\frac{-11}{-5}=2.2$$

Exemplo 2: Infinitas soluções

As equações são múltiplas uma da outra, então representam a mesma reta.

Resolva: $$\begin{cases} x + 2y = 4\\ 2x + 4y = 8 \end{cases}$$

Calcule os determinantes: $$D=(1)(4)-(2)(2)=4-4=0$$ $$D_x=(4)(4)-(8)(2)=16-16=0$$ $$D_y=(1)(8)-(2)(4)=8-8=0$$

Como $D=0$ e $D_x=0$ e $D_y=0$, o sistema tem infinitas soluções.

Exemplo 3: Sem solução

As retas são paralelas, então não se intersectam.

Resolva: $$\begin{cases} x + y = 2\\ 2x + 2y = 5 \end{cases}$$

Calcule os determinantes: $$D=(1)(2)-(2)(1)=2-2=0$$ $$D_x=(2)(2)-(5)(1)=4-5=-1$$ $$D_y=(1)(5)-(2)(2)=5-4=1$$

Como $D=0$, mas pelo menos um entre $D_x$ e $D_y$ é diferente de zero, o sistema não tem solução.

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Perguntas sobre o solucionador de sistema 2x2

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